Set optimization with respect to variable domination structures

Abstract

Gegenstand dieser Arbeit sind Mengenoptimierungsprobleme mit variablen Dominanzstrukturen, wobei sowohl der Vektor- als auch der Mengenansatz zur Definition des Lösungskonzeptes verwendet werden. Wir leiten weiter Zusammenhänge zwischen diesen Ansätzen her und beweisen mit Hilfe der Ko-Ableitung von Mordukhovich Optimalitätsbedingungen für Lösungen, die auf dem Mengenansatz basieren. Um diese Lösungen zu charakterisieren, erklären und studieren wir nichtlineare Skalarisierungsfunktionale, die durch das bekannte Gerstewitz-Funktional motiviert sind. Diese Funktionale werden weiter verwendet, um korrekt gestellte Eigenschaften der Mengenoptimierung mit variablen Dominanzstrukturen zu studieren sowie um Lösungen für sogenannte Image Medical Registration Probleme und unsichere Optimierungsprobleme zu charakterisieren. Darüber hinaus führen wir eine geeignete Ordnungsstruktur für das Intensitätsproblem in der Strahlentherapie ein. Optimalitätsbedingungen für die gewünschten Dosen dieses Problems werden ebenfalls untersucht.

In this work, we consider set optimization problems with respect to variable domination structures, where the vector approach and the set approach are used in order to define the solution concepts. We derive relationships between these two approaches and optimality conditions in terms of Mordukhovich coderivative for solutions based on the set approach. In order to characterize these solutions, we introduce nonlinear scalarizing functionals extended from the well-known Gerstewitz functional. These functionals are also used to study well-posed properties of set optimization with respect to variable domination structures and characterize solutions for Image Medical Registration problems as well as uncertain optimization problems. In addition, we introduce an appropriate ordering structure for the beam intensity problem in radiotherapy treatment. Optimality conditions for desired doses of this problem are also investigated.