On set optimization with set relations : a scalarization approach to optimality conditions and algorithms

Abstract

In der Mengenoptimierung beschäftigt man sich mit der Minimierung von mengenwertigen Abbildungen in einem halbgeordneten Bildraum. Diese Dissertation widmet sich der Untersuchung solcher Probleme hauptsächlich unter Verwendung skalarisierender Funktionale. Im ersten Teil wird eine verallgemeinerte Klasse von skalarisierenden Funktionalen eingeführt, die die derzeit in der Literatur bekannten erweitert. Die Zusammenhänge zwischen diesen Funktionalen und Mengenoptimierungsproblemen werden ebenfalls analysiert. Im zweiten Teil der Dissertation leiten wir neue notwendige Optimalitätsbedingungen für Mengenoptimierungsprobleme ab, indem wir Werkzeuge aus der Variationsanalysis und der verallgemeinerten Differentiation verwenden. Anschließend entwickeln wir eine Methode erster Ordnung für eine bestimmte Klasse von Mengenoptimierungsproblemen, die in Anwendungen auftritt. Die Performance dieses Algorithmus wird an verschiedenen akademischen Beispielen illustriert.

In set optimization one deals with the minimization of set-valued mappings with a partially ordered image space. This dissertation is devoted to a study of such problems using scalarizing functionals as the main tool. In a first part, we introduce a generalized class of scalarizing functionals that extends those currently known in the literature. The connections between these functionals and set optimization problems is also analyzed. In the second part of the dissertation we derive new necessary optimality conditions for set optimization problems using tools from variational analysis and generalized differentiation. We then propose a first order method for a particular class of set optimization problems that arises in applications. The performance of this algorithm is illustrated on different academic examples.