Transport und Reaktion in Systemen mit und ohne Rückkopplung

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Evolutionsgleichungen, die sowohl Transport- als auch Reaktionsprozesse beschreiben. Solche Prozesse werden durch Reaktions-Diffusionsmodelle mathematisch erfasst, wobei als Transportmechanismus die thermisch aktivierte bzw. nicht gerichtete Bewegung, die Diffusion, angenommen wurde. Komplexe Systeme aus den verschiedensten wissenschaftlichen Gebieten, nicht nur der Physik, sondern z. B. aus der Biologie, der Chemie, den Wirtschaftswissenschaften bzw. der Sozioökonomie etc. erfahren eine Beschreibung der in ihnen auftretenden, komplizierten Eigenschaften durch Methoden der statistischen Physik. Diese komplizierten Eigenschaften lassen sich auf das Zusammenwirken sehr vieler Teilchen bzw. Einheiten zurückführen. Grundlage von Reaktions-Diffusionsmodellen sind i. Allg. Systeme aus gewöhnlichen bzw. partiellen Differenzialgleichungen. Durch das Wechselspiel der reaktiven bzw. diffusiven Prozesse können in solchen Systemen Struktur- bzw. Musterbildung auftreten. Auch das Wachstum und die räumliche Ausbreitung der Einheiten eines komplexen Systems sind mögliche Vorgänge, die in solchen Systemen stattfinden. So ist die Ausbreitung über Fronten, den so genannten "Traveling Waves", und Schockwellen ein experimentell häufig gefundenes und mit Reaktions-Diffusionsmodellen beschriebenes Phänomen. Oszillierende chemische Reaktionen, die räumlich periodische Muster zeigen, wobei sich die Reaktionsprodukte periodisch und wiederkehrend ändern, stellen ein System fernab vom thermischen Gleichgewicht dar. Neben den beiden wechselwirkenden Mechanismen, der Reaktion und der Diffusion, sind es v. a. Nichtlinearitäten, die solch ein komplexes Verhalten verursachen. Ein zusätzlicher Bestandteil, welcher zum reichhaltigen Spektrum des Verhaltens komplexer bzw. dynamischer Systeme beiträgt, ist die Rückkopplung. Die Arbeit behandelte zwei Schwerpunkte. Zum einen wurde die Verallgemeinerung bekannter Modelle aus der Populationsdynamik und der kinetischen Beschreibung chemischer Reaktionen durch Rückkopplungs- bzw. Gedächtnisterme betrachtet. Die bei diesen Untersuchungen verwendeten Gleichungen sind skalar, haben aber nichtlokalen Charakter. Zum anderen wurden Aspekte der Silbernanopartikelbildung in Alkali-Silikatgläsern, deren Beschreibung mithilfe eines (lokalen) Systems von Reaktions-Diffusionsgleichungen möglich ist, näher beleuchtet.

The present work deals with evolution equations, which describe both transport and reaction processes. Such processes are comprehended mathematically in reaction-diffusion models, whereas diffusion is taken into account as thermally activated respectively non-directed transport mechanism. Complex systems from different scientific areas, not only physics, but biology, chemistry, economics and socioeconomics etc. and their sophisticated properties are described by methods of statistical physics. These intricate properties attribute to the interaction of many particles or entities. The basis of reaction-diffusion models is in general a system of ordinary respectively partial differential equations. The interaction of reactive and diffusive processes could induce pattern formation in such systems. The growth and spatial propagation of the entities of complex systems are possible events, that take place in such systems, too. In so the front propagation, the so called traveling waves, and shock waves are frequently found experimental phenomena, describing reaction-diffusion models. Oscillating chemical reactions, showing spatially periodic pattern, in which the reaction products are changing periodically and recurrently, constitute systems far away from thermal equilibrium. Besides both interacting mechanisms, reaction and diffusion, it is mainly nonlinearity, causing such complex behavior. An additional element, contributing to the rich behavior of complex and dynamical systems, is the feedback. In the work two key aspects are discussed. Firstly known models from population dynamics and from the description of chemical reactions is generalized by feedback and memory terms. The equations of these investigations are scalar and nonlocal. On the other side aspects of the formation of silvernanoparticles in alkali silicate glass, described by a (local) system of reaction-diffusion equations is highlighted.