The geometry of Moufang sets

Abstract

In der Promotionsarbeit wird das Konzept der Moufang-Mengen erklärt und einige Resultate für Moufang-Mengen bewiesen. Hauptresultat dabei ist die Lösung des sogenanntes Isomorphieproblems von Moufang-Mengen, die über Schiefkörpern definiert sind. Das Isomorphieproblem besagt dabei Folgendes: wenn zwei Moufang-Mengen (durchaus auch von unterschiedlichem Typ), die über einem Schiefkörper gegeben sind, isomorph sind, dann sind die zugrundeliegenden Schiefkörper im Regelfall ähnlich (also isomorph oder anti-isomorph). Der Beweis für alle vier in der Arbeit beschriebenen Moufang-Mengen, der Moufang-Mengen der projektiven Geraden, der Moufang-Mengen der polaren Geraden, der orthogonalen Moufang-Mengen sowie der gemischten Moufang-Mengen, benutzt dabei im Wesentlichen das Konzept von speziellen Jordan-Algebren, die in einer 1:1-Korrespondenz mit bestimmten Moufang-Mengen stehen. Dieses Resultat wird dabei in der Arbeit mitbewiesen. Weiterhin wird in der Arbeit die Eindeutigkeit von in Moufang-Mengen der polaren Geraden zugrundeliegenden Gruppen bewiesen, welche das Thema der Arbeit abschließt.

In this phd thesis we explain the concept of Moufang sets and prove some results on them. The main result is the solution of the so-called isomorphism problem of Moufang sets which are defined over skew fields. The isomorphism problem is stated as follows: if two Moufang sets, given over skew fields, are isomorphic, then the underlying skew fields are usually similar (which means isomorphic or anti-isomorphic). Thereby both Moufang sets may be of different type. The proof for all four Moufang sets described in the thesis, i.e. Moufang sets of the projective line, Moufang sets of the polar line, orthogonal Moufang sets and mixed Moufang sets, uses mainly the concept of special Jordan algebras. We also proof in the thesis that these special Jordan algebras have a one-to-one correspondence to some Moufang sets. Moreover we proof the uniqueness of root groups of Moufang sets of the polar line which finishes the thesis.