Hedging in incomplete markets and testing compound hypotheses via convex duality

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird das Hedgeproblem in unvollständigen Finanzmärkten unter Verwendung verschiedener Arten von Risikomaßen (wie konvexer oder kohärenter Risikomaße oder der robusten Version des Erwartungswertes einer Verlustfunktion als Risikomaß) untersucht. Das dynamische Optimierungsproblem besteht darin, eine selbstfinanzierende Handelsstrategie zu finden, die das Risiko eines möglichen Verlustes beim Hedgen einer Option minimiert. Dieses dynamische Problem kann in ein statisches und ein Darstellungsproblem zerlegt werden. Es wird gezeigt, dass die optimale Handelsstrategie die Superhedgingstrategie einer modifizierten Option ist, deren Auszahlung sich aus Multiplikation der Auszahlung der ursprünglichen Option mit der Lösung des statischen Problems, dem optimalen randomisierten Test, ergibt. Es werden hinreichende und notwendige Optimalitätsbedingungen für das statische Problem hergeleitet unter Verwendung von Resultaten der konvexen Analysis und der Nutzenmaximierung. Es wird die Gültigkeit der starken Dualität zwischen primalem und dualem Problem bewiesen und eine Strukturaussage für die Lösung des statischen Optimierungsproblems hergeleitet. Die verwendete Methode ist auch auf das Problem des Testens zusammengesetzter Hypothesen anwendbar. Im ersten Kapitel der Dissertation werden Risikomaße auf Lp-Räumen, ihre Akzeptanzmengen und Dualdarstellungen untersucht. Im Kapitel 2 wird ein Optimierungsproblem bezüglich randomisierter Tests untersucht. Es wird die Existenz einer Lösung und deren Struktur hergeleitet. Im Kapitel 3 werden diese Resultate auf das Problem des Testens zusammengesetzter Hypothesen und im Kapitel 4 auf das Hedgen in unvollständigen Finanzmärkten bezüglich der im ersten Kapitel untersuchten Risikomaße angewendet.

In this thesis, we study the problem of hedging in incomplete markets, where the risk of the shortfall is measured with different risk measures (e.g. coherent and convex risk measures, robust version of the expectation of a loss function). The dynamic optimization problem of finding a self-financing strategy that minimizes the risk of the shortfall can be split into a static optimization problem and a representation problem. The optimal strategy consists in superhedging a modified claim. The payoff of the modified claim is the product of the payoff of the original claim and the solution to the static optimization problem, the optimal randomized test. We deduce necessary and sufficient optimality conditions for the static problem using convex duality methods and results from maximizing expected utility. We deduce the dual problem and prove the validity of strong duality. The solution of the static optimization problem turns out to be a randomized test with a typical 0-1-structure. The method to solve this problem is also applicable to the closely related problem of testing compound hypotheses. In Chapter 1 we study risk measures on Lp-spaces, their acceptance sets and dual representations. In Chapter 2 an optimization problem involving randomized tests is considered. We prove the existence and a result about the structure of a solution. In Chapter 3 we apply these results to the problem of testing compound hypotheses and in Chapter 4 to the problem of hedging in incomplete markets.