Variational inequalities with multivalued bifunctions

Abstract

In Teil 1 beweisen wir mehrere ordnungstheoretische Fixpunktresultate, sowohl in abstrakter Form als auch im Kontext reflexiver Banach-Räume. Durch Verallgemeinerung des Konzepts von Unter- und Oberlösung entwickeln wir ein leistungsstarkes und einfach anzuwendendes Konzept zur Lösung von Variationsungleichungen. Zudem untersuchen wir ordnungstheoretische, topologische und maßtheoretische Eigenschaften von mengenwertigen Funktionen. In Teil 2 wenden wir das entwickelte Konzept auf verschiedene mengenwertige Variationsprobleme an, in denen die Terme niederer Ordnung weder stetig noch monoton, sondern nur eine Bifunktion sein müssen. Wir behandeln dabei Verallgemeinerungen klassischer Probleme (insbesondere kann die bisherige Theorie genutzt werden, um die Existenz von Unter- und Oberlösungen sicherzustellen). Im Einzelnen untersuchen wir Variationsungleichungen, Quasi-Variationsungleichungen, Elliptische Inklusionen mit Maßen und Systeme der eben genannten Probleme.

In the first part, we derive several order-theoretical fixed point theorems, both in an abstract setting and in reflexive Banach spaces. We generalize the principle of sub-supersolutions and present a powerful yet easy to apply framework for solving variational inequalities. Furthermore, we investigate order-theoretical, topological and measure theoretical properties of multivalued functions. In the second part, we apply the developed framework to a wide range of multivalued variational problems in which the lower order term is in general neither continuous nor monotone, but given by a bifunction. We treat proper generalizations of classical problems (especially, the involved definitions of sub-super-solutions harmonize with the existing theory whence such semi-solutions can be found by standard methods). In detail, we treat variational inequalities, quasi-variational inequalities, elliptic inclusions with measure right-hand sides, and systems of the before mentioned problems.