Approaches to set optimization without convexity assumptions

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der Herleitung von Lösungskonzepten und -methoden zur Lösung von Optimierungsproblemen ohne Konvexitätsannahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf Mengenbeziehungen, da diese im sogenannten Mengenansatz eine entscheidende Rolle spielen. Verallgemeinerte Mengenrelationen werden eingeführt und mittels nichtlinearer Funktionale charakterisiert. Darüber hinaus werden variable Dominanzstrukturen sowie approximative Lösungsbegriffe vorgestellt und untersucht. Für diese Konzepte werden Lösungsverfahren mittels verallgemeinerter Jahn-Graef-Younes-Methoden und ableitungsfreier Abstiegsmethoden hergeleitet, getestet und verifiziert. Als Anwendung der Mengenoptimierung werden unsichere vektorwertige Optimierungsprobleme untersucht.

This work is concerned with providing solution concepts and methods for solving set optimization problems without convexity assumptions. A special focus is put on set relations, as these are crucial ingredients in the so-called set approach. Generalized set relations are introduced and characterized by means of nonlinear functionals. In addition, variable domination structures as well as approximate solution concepts are introduced and studied. For these concepts, solution procedures by means of generalized Jahn-Graef-Younes methods and derivative-free descent methods are provided, tested and verified. As an application of set optimization, uncertain vector-valued optimization problems are investigated.