Einfache, nicht-abelsche Gruppen von Automorphismen von kompakten Riemannschen Flächen vom Geschlecht mindestens zwei in Fixität maximal vier

Abstract

Diese Dissertation klassifiziert einfache, nicht-abelsche und transitive Permutationsgruppen G von Fixität 4, in denen es eine Involution mit genau vier Fixpukten gibt. Die Fixität einer Gruppe G bei der Wirkung auf einer Menge Ω ist dabei die Maximalanzahl der Fixpunkte von nichttrivialen Elementen von G in Ω. Des Weiteren werden Wirkungen von einfachen und nicht-abelschen Gruppen auf kompakten Riemannschen Flächen X vom Geschlecht mindestens 2 in Fixität maximal 4 unter einer Vermutung über transitive Permutationsgruppen klassifiziert, für die jedes nichttriviale Gruppenelement höchstens vier Punkte festlässt und für die die Punktstabilisatoren zyklisch sind. Dabei werden allgemeine gruppen- und charaktertheoretische Methoden sowie die lokale Struktur der Gruppen durch Zentralisatoren von Involutionen, Normalisatoren von Untergruppen und maximale Untergruppen verwendet.

This PhD thesis classifies non-abelian, simple and transitive permutation groups G of fixity 4 in which there is an involution with exactly four fixed points. The fixity of a group G in its action on a set Ω is the maximum number of fixed points on Ω of non-trivial elements of G. Furthermore, the actions of non-abelian simple groups on compact Riemann surfaces of genus at least 2 in fixity 4 will be classified under a conjecture about transitive permutation groups. This conjecture is about transitive permutation groups of fixity 4 having cyclic point stabilisers. This thesis uses techniques of group theory, representation theory and the local structure of the groups, i.e. centralisers of involutions, normalisers of subgroups and maximal subgroups.