Geometry of two integrable systems - discrete functions ZC via circle patterns, conservation laws and linear congruences

Abstract

In Teil I werden holomorphe Abbildungen zc, 0 < c ≤ 2, und log(z) durch Kreismuster modelliert. Die Hauptergebnisse sind: die zu den diskreten Versionen der Abbildungen zc und log(z) gehörigen Kreismuster sind eingebettet, und die diskreten Versionen haben dasselbe asymptotische Verhalten wie ihre glatten Gegenstücke. Beweismittel sind die diskreten Painleveschen und Riccatischen Gleichungen. Der Teil II klassifiziert integrierbare linear entartete Systeme von 3 und 4 Erhaltungsgesetzen mit geradlinigen Verdünnungskurven, ohne Riemannsche Invarianten. Wegen der Korrespondenz zwischen Erhaltungsgesetzen und Geradenkongruenzen, liefert die Klassifikation eine differential-geometrische Beschreibung der Geradenkongruenzen mit natürlichen projektiven Eigenschaften. Die charakteristischen Gewebe der entsprechenden partiellen Differentialgleichungen sind flach, dies motiviert eine Klassifikation der impliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Sechseckgewebe von Lösungen.