Analysis for phase fields models of Cahn-Hilliard type

Abstract

Das Anliegen dieser Arbeit ist die analytische Behandlung für nichtlineare Phasenfeldmodelle vom Cahn-Hilliard Typ. Insbesondere werden die nicht-isotherme Cahn-Hilliard Gleichung mit dynamischen Randbedingungen, sowie eine von M.E. Gurtin vorgeschlagene Verallgemeinerung der Cahn-Hilliard Gleichung, das sogenannte Cahn-Hilliard-Gurtin System, untersucht. Des Weiteren sind die konservierten Penrose-Fife Gleichungen Gegenstand der Betrachtungen. Das Ziel ist es, für alle diese Modelle eine Lp Theorie zu erarbeiten. Vornehmlich weisen wir die Existenz von starken Lösungen (im Lp Sinne) nach, welche bezüglich der Zeit global existieren. Dazu ist es essentiell, für das jeweilige zugehörige linearisierte Problem maximale Lp Regularität nachzuweisen. Dies geschieht im Falle der Penrose-Fife Gleichungen und der nicht-isothermen Cahn-Hilliard Gleichung durch Zurückführung auf wohlbekannte Probleme, während man im Fall des Cahn-Hilliard-Gurtin Systems zunächst das lineare Ganzraumproblem und Halbraumproblem löst. Mit Hilfe der Methode der Lokalisierung erhält man auch für dieses Modell optimale Lp Regularität für das linearisierte System. Die Anwendung des Fixpunktsatzes von Banach liefert dann die Existenz einer lokalen Lösung auf einem kleinen Zeitintervall. Dazu müssen die Nichtlinearitäten Lipschitz stetig sein. Zum Nachweis der globalen Existenz bezüglich der Zeit dient schließlich die Gagliardo-Nirenberg-Interpolationsungleichung unter Verwendung einiger a priori Energieabschätzungen und geeigneter Wachstumsbedingungen an die Nichtlinearitäten. Außerdem wird für alle diese drei Modelle eine asymptotische Betrachtung, hinsichtlich des Langzeitverhaltens geführt. Die Existenz einer strikten Lyapunov Funktion und die Eigenschaft, dass die Lösung einen globalen Halbfluss definiert, sichern die Gültigkeit einiger bekannter Resultate aus der Theorie der dynamischen Systeme. Im Allgemeinen ist die Lösungsmenge des zugehörigen stationären Systems nicht diskret. Sie kann sogar ein Kontinuum bilden. In diesem Fall benötigt man zum Nachweis der Konvergenz die sogenannte Lojasiewicz-Simon-Ungleichung f¨ur die (natürliche) Lyapunov Funktion.

The purpose of this thesis is the study of nonlinear phase field models of Cahn-Hilliard type. In particular we investigate the non-isothermal Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions as well as a generalization of the Cahn-Hilliard equation, the so called Cahn-Hilliard-Gurtin system, which was proposed by M.E. Gurtin. In addition we investigate the quasilinear conserved Penrose-Fife equations. It is the objective to develop an Lp theory for the aforementioned models. In particular we prove the existence of strong solutions (in the sense of Lp), which exist globally in time. Therefor it is essential to prove maximal Lp regularity for the corresponding linearized problem. In case of the Penrose-Fife equations and the Cahn-Hilliard equation this is done by a reduction to some well-known problems, whereas in case of the Cahn-Hilliard-Gurtin system we first solve the linearized full space and half space problem. Applying the method of localization we obtain optimal Lp regularity for this system, too. With the help of the contraction mapping principle we obtain the existence of a local solution on a possibly small time interval as long as the nonlinearities are assumed to be Lipschitz continuous. For the proof of global existence w.r.t. time we make use of the Gagliardo-Nirenberg interpolation inequality and some a priori energy estimates in connection with some appropriate growth conditions on the nonlinearities. Furthermore we investigate the long time behavior of the solutions. The existence of a strict Lyapunov function and the property that the solution defines a global semiflow, ensure the validity of some wellknown results in the theory of dynamical systems. In general, the set of solutions of the corresponding stationary problem is not discrete. Actually it can be a continuum of solutions. In this case we need to apply the so called Lojasiewicz-Simon inequality to the Lyapunov function, in order to establish the proof of convergence.